基于主体的COVID-19模型：大量小规模集会，好过少量大规模集会

在许多简单的疾病传播模型中，都假设了具有统一的基本传染数（R₀）的同质性人群。每个感染者平均会引起R₀个新感染者，R₀>1则疾病会持续传播，R₀<1则传播逐渐停止。新冠疫情以来，对于新冠病毒R₀值的估计大多在2-3之间。

真实情况下，人群的异质性、社会网络结构差异、不同的管控措施、病毒的变异等，都会引起R₀波动，进而影响数据分析和判断。目前已经有一些基于主体或网络的模型，开始考虑到复杂参数的影响。

Christopher Wolfram 近日在Complex Systems期刊在线发布论文，构建基于主体的COVID-19模型（An Agent-Based Model of COVID-19），研究了多主体模型在不同场景、不同参数下的具体行为变化。

Christopher Wolfram（左）和Stephen Wolfram（右）

主要结论包括：

存在临界点：随着主体之间互动率（interaction rate）的变化，存在一个鲁棒的临界点。它决定了最终是大部分人被感染，还是小部分人被感染。（即在临界条件下，R₀≈1。）

接触网络的结构显著影响着疾病传播。在B-A网络上的传播速度非常快。W-S网络传播速度处于中间水平，而由W-S团簇组成的超图结构传播最慢。

降低社团之间的互动会增加结果的不确定性，但会压平增长曲线，降低平均总感染率。

大量的小规模集会，好过少量的大规模集会。

改变痊愈时间，可以改变临界点的位置。

互动率的异质性显著影响着疾病传播。即建模不应只考虑平均的互动率，而要考虑主体之间互动率的分布。

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论文题目：

An Agent-Based Model of COVID-19

论文地址：

https://www.complex-systems.com/abstracts/v29_i01_a05/

作者公布了论文的PDF版本。扫描下方二维码即可在线浏览或下载：

论文图表及说明

作者首先构建通用模型，并分析了相图，然后探索了可能的参数空间。

1.构建基本模型

论文以图的形式表示人群中的联系网络。每个节点表示一个主体（agent），每条连边连接两个可能互动的agent。每个主体被标记为易感染、被感染或痊愈三种状态。

在实验中，每个时间步，主体都会在联系人网络中随机选择其邻居，并与之会面（即互动）。会面是相互的，哪个主体发起并不重要。最后，被感染的主体会在一段时间后恢复。持续上述步骤直到被感染的主体完全消失。

图1-图3：以Florentine家族为例构建社交网络，将其中被感染的主体（agent）标红。在模拟开始时，少量随机主体被感染。之后新感染者被标记为蓝色，感染路径标记为紫色。

图4：从Watts-Strogatz图分布采样、具有1000个节点和10%重连概率的随机图。

图5：随着时间步推移，易感染（橙色）、被感染（蓝色）和痊愈（绿色）的主体数量变化。

此时该模型是典型的SIR模型（Susceptible，Infected，Recovered）。

2.感染曲线的相图（Phase Plots）

对上述模拟的演变过程可视化，可以让曲线穿过一个易感染、被感染、痊愈分别是坐标轴的三维空间。但由于易感染主体+被感染主体+痊愈主体=主体总量，因此可以只用二维平面来表示传染病演化曲线。

图6：简单传播模型的相位图

图7：考虑到痊愈时间的几何分布，再将相位图拓展到向量场中，从而寻找临界点和吸引子。

显然在{0, 0}位置有吸引子。在此参数下（infected-->0，susceptible-->0）所有人都被感染。后文则研究不同参数会对相图有怎样的影响。

3.探索参数空间  

图8：随着时间推移，易感染主体（橙色）、被感染主体（蓝色）和痊愈主体（绿色）的数量，因为每个时间步主体的会面次数不同而不同。

图9：感染率峰值和总感染率随平均会面次数变化的函数

随着会面次数增加，曲线会越过一个临界点——一旦越过，就注定几乎所有人都会感染。绘制单次增长峰值和总感染率曲线，明显可以看到临界点的存在。在每个时间步下，当主体的平均会面次数超过0.2，总感染率会快速上升到接近100%。

图10：调节会面次数的大小，引起相图7的变形。

当互动受限时，在相图底部边缘有吸引子（无人被感染），随着会面的增加，该吸引子被快速推到了左下角（无人被感染或者易感染）。

4.多种网络结构对比

图11：研究者在上述不同网络上进行仿真实验，以确定网络结构对传播的影响

图12：感染率峰值（左）和总感染率（右）随着平均会面率变化的函数。虽然不同网络结构上的临界点接近（0.2），但高互动率（会面率）的感染情况却差异很大。

其中B-A无标度网络的疾病扩散速率高于W-S小世界网络。

图13：感染率峰值（左）和总感染率（右）随着平均会面率变化的函数。不同颜色的曲线代表在不同密度W-S网络上的测试结果。稀疏的网络（下方蓝线）疾病扩散很慢，较密集的网络则迅速扩散。进一步说明网络结构的重要性。

社交网络通常被认为是小世界的，但通过人与人见面（传播疾病）形成的联系网络，却未被证实也是小世界的。因此作者构建了由多个小团簇组成的超图。每个团簇内部是一个小世界网络（如城市城镇等地理实体），团簇之间是表示这些地理实体连通性的平面图（planar graph）。通过调整临近团簇之间的连边数量、团簇内部的连通性，最后发现，减少社团之间的互动可能比减少社团内部的互动更有效。

图14：一个具有10个社团的超图（supergraph）示意图，每个社团包括100个顶点，并且有5条连接着相邻社团的边

图15：感染率峰值（左）和总感染率（右）随着平均会面率变化的函数。团簇间的连接数从1到10，分别模拟，以不同颜色的曲线表示。

将最初感染的agent强制放在一个团簇中，向其他团簇扩散。当团簇之间的连接变弱时，疾病传播的速度不出所料地降低了。而且感染率是随着会面率缓慢增长的。其原因是，尽管在社团内部（小世界团簇）迅速传播，但在大尺度的平面图上却没有那么快递传播。

随着团簇之间的联系越来越紧密，曲线开始接近在大的小世界网络（所有主体都在其中）上模拟的形状。但当团簇处于弱连接状态时，曲线却截然不同。

这意味着减少社团之间的互动（团簇间连接数），比减少社团内部的互动（平均会面率）更有效。

作者：刘培源审校：陈关荣编辑：邓一雪

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